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80 Anciens Nous du Collège - N 292 - Juillet 2022
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Exercice 1 : Malade imaginaire ! Si vous avez envie de vous replonger dans les
Pour une raison inexpliquée, un élève est trois fois plus souvent malade les jours de devoirs en classe que les
autres jours. Il y a environ 1 devoir en classe tous les trois jours (pour l’ensemble des matières). maths, voici les exercices qui ont fait l’objet du
Aujourd’hui cet élève est malade. Quelle est la probabilité qu’il y ait un devoir en classe ?
Prix d’honneur de mathématiques, édition 2022.

Exercice 2 : Tangentes linéaires !
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, On note (C) la courbe représentative de la fonction f définie sur R
fx
par ( ) e= 2 x + x+ 1 . Combien (C) possède-t-elle de tangente(s) passant par l’origine ? Donner leurs équations.
2. Un pilote de voltige veut tenter de passer sous l’arche avec le Solar Impulse (avion expérimental) propulsé à
Exercice 3 : Jeu équitable ! l’énergie solaire de 63,4 m d’envergure (distance entre les ailes).
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dispose d’une urne contenant n boules pouvant être de deux Déterminer l’altitude maximale à laquelle il peut passer sous l’arche.
couleurs différentes, rouge et blanche.
Le jeu consiste à extraire au hasard une boule de l’urne, puis sans remettre celle-ci dans l’urne à extraire une
seconde boule de l’urne. Le joueur a gagné lorsque les deux boules tirées sont de même couleur.
On admet qu’à chaque tirage, toutes les boules de l’urne ont la même probabilité d’être tirées. Exercice 6 : Les fractales, l’art mathématique !
1
PG
On dit que le jeu est équitable lorsque la probabilité ( ) que le joueur gagne est égale à . On effectue le programme de construction ci-dessous:
2
7
1. Démontrer que si l’urne contient 10 boules dont 4 blanches et 6 rouges alors ( ) = .
PG
15
)
2. Dans cette question, on suppose que l’urne contient la configuration ( ,ab c’est-à-dire qu’elle contient,
a boules rouges et b boules blanches.
2
a) Démontrer que si le jeu est équitable alors n = (ab− ) .
b) Réciproquement, démontrer que si n est le carré d’un entier p alors il existe deux entiers naturels a
)
et b avec ab que l’on exprimera en fonction de p tels que la configuration ( ,ab conduise à un
jeu équitable.
)
c) Donner six couples ( ,ab conduisant à un jeu équitable.

Exercice 4 : Que de pyramides !

On s’intéresse à des pyramides construites avec des
allumettes comme ci-contre :
En poursuivant ainsi, on obtient des pyramides 1 étage 2 étages 3 étages
à autant d’étages que l’on désire.
On considère la fonction py programmée en langage Python :
1 def py(n) :
2 a=3
3 S=0
4 for i in range (n) : Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
5 S=S+a
6 a=a+4 • U le nombre de triangles construits nouvellement à l’étape n,
n
7 return S • L la longueur du côté du triangle équilatéral construit nouvellement à l’étape n,
n
• h la hauteur du triangle équilatéral construit nouvellement à l’étape n,
2/4 n
• S la surface que l’on colore nouvellement à l’étape n.
n

1. On exécute l’instruction py(4). Exprimer U , L et h puis déduire S en fonction de n en justifiant votre réponse.
a) Que représentent les différentes valeurs prises par a ? n n n n
b) A quoi correspond le nombre renvoyé par py(4) et quel est-il ?

2. On souhaite connaître le nombre maximal d’étages que l’on peut construire avec N allumettes. Bon travail
La fonction nb (ci-dessous) renvoie le nombre maximal d’étages que l’on peut construire avec le nombre N 4/4
d’allumettes :
10 def nb(N) :
11 n=0
12 while py(n) … :
13 n= …
14 return … Je me suis inscrit au concours de mathématiques
Recopier et compléter (en langage Python) cet algorithme pour répondre au problème.
dans le seul but d’y participer et de gagner en
3. En considérant la suite arithmétique (an) de raison r=4 et de premier terme a1=3, donner le nombre d’étages
que l’on peut construire avec 1000 allumettes et le nombre d’allumettes restantes. expérience. La victoire ne faisait pas partie de mes
objectifs et c’est pour cette raison que j’ai été très
Exercice 5 : Arche de Saint-Louis Missouri USA !
Partie A agréablement surpris à l’annonce des résultats.
On appelle fonction :
x
( )
• cosinus hyperbolique la fonction, notée cosh définie sur R par : cosh x = e + e − x . Ma participation à ce concours était une belle
2 expérience, c’était en effet une opportunité pour
x
( )
• sinus hyperbolique la fonction, notée sinh définie sur R par : sinh x = e − e − x .
2 moi, comme pour les autres, d’évaluer mon niveau
1. Montrer que pour tout réel x , cosh 2 ( ) sinhx − 2 ( ) 1x = .
2. a) Montrer que pour tout réel x , cosh ( ) sinhx = ( ) x en mathématiques par rapport aux meilleurs de
b) Etudier les variations de la fonction cosh puis déduire son minimum et où il est atteint. ma promotion.

Partie B Elle m’a aussi permis de faire la connaissance
d’une partie de l’équipe de professeurs de
En 1947, le Jefferson National Expension Memorial lança un grand
concours d’architectes dont le but était la construction d’un monument mathématiques au Collège que j’ai eu la chance de
à Saint Louis (Missouri, USA) symbolisant la porte de l’ouest et
e
représentatif du XX siècle. rencontrer à la fête du collège. J’ai pu consolider
Sur les 172 projets présentés, c’est la grande arche présentée par Aero Saarinen qui fut sélectionnée. un grand nombre de compétences comme la
réflexion logique et l’analyse. Je conseille à tous
La construction de l’arche s’acheva en 1965. Elle fait 190m de haut et autant de large à sa base.
1. On admet que l’équation de l’arche de Saint-Louis dans le repère orthonormé d’origine le centre du segment les élèves des promotions à venir de prendre part
joignant les deux pieds de l’arche est de la forme : ( ) a= fx  cosh   x   + b . à cette compétition.
 38 
re
a) Montrer que f est une fonction paire. Interpréter graphiquement le résultat. Georgres Khater 1 2
b) Déterminer les valeurs approchées aux centièmes des réels a et b .
3/4